Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\sum_{i=1}^{2^n}\; \frac{1}{i}\; \geqslant \; 1+\frac{n}{2} \qquad \forall \: n\in \mathbb{N}$
Bewijs :
Deel I :	Voor de kleinste n-waarde, nl. 0 bestaat de som in het linkerlid uit één term : LL = ¹/₁ = 1 (de eerste term) RL = 1 + ⁰/₂ = 1 LL = RL, dus LL ≥ RL → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II :	Gegeven :	$\sum_{i=1}^{2^k}\; \frac{1}{i}\; \geqslant \; 1+\frac{k}{2}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen :	$\sum_{i=1}^{2^{k+1}}\; \frac{1}{i}\; \geqslant \; 1+\frac{k+1}{2}$
	Bewijs :	$LL = \sum_{i=1}^{2^k}\; \frac{1}{i}+\frac{1}{2^k+1}+\frac{1}{2^k+2}+\cdots +\frac{1}{2^{k+1}} \quad (*)$
		__ $> \sum_{i=1}^{2^k}\; \frac{1}{i}+\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k+1}}+\cdots +\frac{1}{2^{k+1}} \quad (*)$
		__ $> \sum_{i=1}^{2^k} \frac{1}{i} +\frac{1}{2^{k+1}} + \frac{1}{2^{k+1}} +\cdots +\frac{1}{2^{k+1}}$
		__ $> \left (1+\frac{k}{2} \right )+ 2^k\cdot \frac{1}{2^{k+1}}$
		__ $=1+\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$
		__ $=1+\frac{k+1}{2} = RL$
		LL > RL dus LL ≥ RL Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

(*) $\frac{1}{2^k+1}+\frac{1}{2^k+2}+\frac{1}{2^k+3}+\cdots +\frac{1}{2^{k+1}}$
^{bestaat uit 2^k termen die we (op de laatste na) verkleinen tot} $\frac{1}{2^{k+1}}$
^{(Zoals bijvoorbeeld} $\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}$ ^{bestaat uit 8 = 2³ termen die alle acht} $\frac{1}{16}= \frac{1}{2^4}$ ^worden)